K-近邻算法（K-Nearest Neighbors，简称KNN）是一种简单直观且常用的监督学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。其核心思想是通过计算待预测样本与训练集中样本的距离，选择距离最近的K个邻居，并根据这些邻居的标签进行预测。本文将深入探索KNN算法中的两个重要方面：距离度量的选择与样本不均衡问题的处理。
在KNN算法中，距离度量是决定邻居样本选择的关键。不同的距离度量方法会直接影响算法的预测性能和效率。以下是几种常见的距离度量方法：
欧氏距离是最常见的距离度量方法，适用于高维空间中的点间距离计算。其公式为：
\(d(p, q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (p_i - q_i)^2}\)
其中，\(p\) 和 \(q\) 是两个n维向量。
曼哈顿距离，也称为城市街区距离，适用于在低维空间（如二维平面）中的点间距离计算。其公式为：
\(d(p, q) = \sum_{i=1}^{n} |p_i - q_i|\)
闵可夫斯基距离是欧氏距离和曼哈顿距离的广义形式，其公式为：
\(d(p, q) = \left(\sum_{i=1}^{n} |p_i - q_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\)
当 \(p=1\) 时，即为曼哈顿距离；当 \(p=2\) 时，即为欧氏距离。
样本不均衡问题是指训练集中某些类别的样本数量远多于其他类别，这会导致KNN算法倾向于将待预测样本归类为多数类。以下是几种解决样本不均衡问题的方法：
在KNN算法中，可以通过为不同类别的邻居样本分配不同的权重，以减轻样本不均衡的影响。例如，可以对少数类样本的权重进行加权，使其在预测过程中发挥更大的作用。
除了考虑邻居样本的类别，还可以根据距离赋予不同的权重。距离越近的邻居样本在预测过程中权重越大，这有助于更准确地反映待预测样本的局部特征。
通过数据合成方法（如SMOTE算法）生成少数类样本，以平衡训练集中的数据分布。这可以有效减少KNN算法在样本不均衡情况下的偏差。