复杂网络广泛存在于社交网络、生物网络、信息网络等领域。为了高效地处理和分析这些网络数据，图嵌入算法应运而生。图嵌入是指将图中的节点表示为低维向量，使得这些向量能够捕捉原图的拓扑结构和节点属性信息。本文将详细介绍图嵌入算法的基本原理、常见方法及其在聚类分析中的应用。
图嵌入算法的核心思想是将图中的节点映射到低维向量空间，同时保持节点之间的连接关系和属性信息。常见的图嵌入方法包括基于矩阵分解的方法、基于随机游走的方法以及基于深度学习的方法。
这类方法通过分解图的邻接矩阵或拉普拉斯矩阵，获得节点的低维表示。例如，拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）通过求解图的拉普拉斯矩阵的特征向量，实现节点嵌入。
随机游走方法通过模拟节点在网络中的随机游走过程，生成节点序列，然后利用这些序列训练词嵌入模型（如Word2Vec）来获得节点的向量表示。DeepWalk和Node2Vec是这类方法的典型代表。
// DeepWalk伪代码示例
for each node v in graph G:
generate random walks starting from v
train skip-gram model on random walks to get node embeddings
end for
近年来，基于深度学习的方法在图嵌入领域取得了显著进展。图神经网络（Graph Neural Networks, GNNs）是一类专门用于处理图数据的神经网络模型，通过聚合邻居节点的信息来更新节点的表示。Graph Convolutional Networks (GCNs) 和 Graph Attention Networks (GATs) 是其中两个重要的变体。
// GCN前向传播伪代码示例
H^(l+1) = σ(A * H^l * W^l)
// 其中 A 是图的邻接矩阵（或其归一化形式），H^l 是第 l 层的节点表示，W^l 是可训练的权重矩阵，σ 是非线性激活函数
图嵌入算法将高维的图数据转换为低维向量后，可以方便地应用传统的聚类算法进行节点聚类。例如，可以使用K-means、DBSCAN等聚类算法对嵌入后的节点向量进行聚类分析，从而揭示网络的社区结构或节点间的潜在关系。
// 使用K-means对嵌入后的节点向量进行聚类
embeddings = get_node_embeddings(graph)
kmeans = KMeans(n_clusters=k)
clusters = kmeans.fit_predict(embeddings)
面向复杂网络的图嵌入算法是处理和分析大规模网络数据的有效工具。通过将这些高维的图数据转换为低维向量，不仅可以降低数据的维度，还可以保留重要的结构和属性信息。在聚类分析中的应用进一步揭示了网络数据的内在结构和潜在关系。随着深度学习技术的不断发展，图嵌入算法将在更多领域发挥重要作用。