神经网络作为深度学习领域的核心，其算法原理与优化策略一直是研究热点。本文将聚焦于激活函数的选择与反向传播机制这两个细致方面，进行深入解析。
激活函数是神经网络中不可或缺的部分，它为神经元引入非线性，使得网络能够学习和表示复杂的函数关系。常见的激活函数包括Sigmoid、Tanh和ReLU等。
Sigmoid函数是早期神经网络中最常用的激活函数之一，其数学表达式为：
σ(x) = 1 / (1 + e^(-x))
Sigmoid函数将输入映射到(0, 1)区间，适合用于二分类问题的输出层。然而，它存在梯度消失问题，即在远离原点的地方，函数的梯度趋近于0，导致训练过程中权重更新缓慢。
Tanh函数（双曲正切函数）是Sigmoid函数的一种变体，其数学表达式为：
tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
Tanh函数将输入映射到(-1, 1)区间，相比Sigmoid函数，其输出均值更接近0，有助于加快训练速度。但同样存在梯度消失问题。
ReLU（Rectified Linear Unit）函数是目前最常用的激活函数之一，其数学表达式为：
ReLU(x) = max(0, x)
ReLU函数在输入为正时输出为输入值本身，输入为负时输出为0。其优点在于计算简单、梯度不消失（在输入为正时）、以及加速训练过程。然而，ReLU函数在输入为负时梯度为0，可能导致神经元死亡问题。
反向传播是神经网络训练过程中的关键算法，它通过计算损失函数关于权重的梯度，来更新网络中的权重，使得损失函数最小化。
在前向传播过程中，输入数据通过网络的每一层，逐层计算激活值和输出值。假设有一个简单的两层神经网络，前向传播的过程可以表示为：
z^[1] = W^[1]x + b^[1]
a^[1] = σ(z^[1])
z^[2] = W^[2]a^[1] + b^[2]
a^[2] = σ(z^[2]) 或 其他激活函数
损失函数用于衡量网络输出与实际标签之间的差异。常见的损失函数包括均方误差（MSE）和交叉熵损失等。
反向传播算法通过链式法则计算损失函数关于每一层权重的梯度。以均方误差为例，损失函数L关于权重W^[2]的梯度可以表示为：
dL/dW^[2] = dL/da^[2] * da^[2]/dz^[2] * dz^[2]/dW^[2]
其中，dL/da^[2]为损失函数关于输出层的梯度，da^[2]/dz^[2]为激活函数的导数，dz^[2]/dW^[2]为z^[2]关于W^[2]的偏导数。通过逐层反向传播，可以计算出每一层权重的梯度。
根据计算得到的梯度，通过优化算法（如梯度下降法）更新网络中的权重，使损失函数逐渐减小。
为了改善神经网络的训练效果，可以采取多种优化策略，如使用自适应学习率、添加正则化项、以及改进激活函数等。
自适应学习率算法（如Adam、RMSprop）可以根据梯度的一阶和二阶矩估计来动态调整学习率，从而加速训练过程并提高训练效果。
正则化技术（如L1正则化、L2正则化、Dropout）可以防止网络过拟合，提高模型的泛化能力。
除了传统的激活函数外，还可以尝试使用Leaky ReLU、Parametric ReLU等改进版本的激活函数，以缓解神经元死亡问题和梯度消失问题。