K-means聚类算法是机器学习领域中常用的无监督学习算法之一，用于将数据集划分为K个簇。然而，原始的K-means算法存在对初始质心敏感和距离度量单一的问题，导致聚类结果不稳定和效果受限。本文将介绍两种改进方法：改进的初始化方法和距离度量优化，以提升K-means聚类算法的性能。
K-means算法对初始质心的选择非常敏感，不恰当的初始质心可能导致算法陷入局部最优解。以下介绍两种改进的初始化方法：K-means++ 和 基于密度的初始化方法。
K-means++算法通过一种智能的方式来选择初始质心，使得初始质心彼此之间的距离尽可能远。具体步骤如下：
这种方法可以显著减少初始质心的相似性，从而提高聚类结果的稳定性和准确性。
基于密度的初始化方法通过分析数据点的局部密度来选择初始质心。高密度区域的数据点更有可能成为簇的中心。具体步骤如下：
这种方法可以有效避免初始质心陷入低密度区域，从而提高聚类结果的合理性。
K-means算法默认使用欧氏距离作为度量标准，但欧氏距离在某些情况下可能无法准确反映数据点之间的相似性。以下介绍两种优化距离度量的方法：曼哈顿距离和马氏距离。
曼哈顿距离（Manhattan Distance）也称为城市街区距离，它定义为两点在标准坐标系上的绝对轴距总和。曼哈顿距离对高维数据具有更强的鲁棒性，尤其适用于存在离群点的情况。
曼哈顿距离公式：D(p, q) = Σ |p_i - q_i|
马氏距离（Mahalanobis Distance）考虑了数据点的协方差结构，可以处理具有不同量纲和相关性的数据。马氏距离能够有效区分不同簇中的数据点，提高聚类结果的准确性。
马氏距离公式：D(p, q) = √((p - q)^T Σ^-1 (p - q))
其中，Σ是数据集的协方差矩阵。
通过改进的初始化方法和距离度量优化，K-means聚类算法的性能可以得到显著提升。改进的初始化方法可以有效避免局部最优解，提高聚类结果的稳定性；优化距离度量则可以更准确地反映数据点之间的相似性，提高聚类结果的准确性。在实际应用中，可以根据数据的特性和需求选择合适的改进方法，以获得更好的聚类效果。