支持向量机（SVM）是机器学习领域中一种强大的分类算法，尤其适用于处理高维数据和小样本集。SVM的核心在于找到一个最优的分类边界，将不同类别的数据点尽可能分开。这一过程的实现，很大程度上依赖于核函数的选择与应用。本文将深入剖析核函数与分类边界在SVM中的作用。
SVM的目标是找到一个最优的分类超平面（在高维空间中称为超平面，在二维空间中为直线，三维空间中为平面），使得两类数据点尽可能地被分开。最优分类超平面的标准是最大化两类数据点到该超平面的最小距离（即间隔）。这个最小距离称为边际（margin）。
SVM通过求解以下优化问题来找到这个最优超平面：
minimize ||w||^2
subject to y_i(w·x_i + b) ≥ 1, for all i = 1, ..., n
其中，w是权重向量，b是偏置项，x_i是数据点，y_i是数据点的标签（+1或-1）。
当数据点非线性可分时，直接寻找一个线性分类边界是困难的。核函数的作用是将原始数据映射到一个更高维的空间（特征空间），在这个空间中数据点可能是线性可分的。常见的核函数包括线性核、多项式核、径向基函数（RBF）核和Sigmoid核。
线性核是最简单的核函数，不进行任何映射，直接计算输入数据之间的点积。
K(x_i, x_j) = x_i · x_j
多项式核将数据映射到多项式特征空间，允许模型捕捉数据之间的复杂关系。
K(x_i, x_j) = (γx_i · x_j + r)^d
其中，γ是系数，r是常数项，d是多项式的度数。
RBF核（特别是高斯核）是最常用的核函数之一，通过计算数据点之间的欧氏距离的平方的负指数函数来工作。
K(x_i, x_j) = exp(-γ||x_i - x_j||^2)
其中，γ是控制核宽度的参数。
Sigmoid核允许SVM实现多层感知器（MLP）的功能。
K(x_i, x_j) = tanh(γx_i · x_j + r)
其中，γ和r是参数。
选择适当的核函数能够显著影响SVM的性能。不同的核函数将数据映射到不同的特征空间，从而可能形成不同的分类边界。在实际应用中，通常需要通过交叉验证等方法来选择最优的核函数及其参数。
支持向量机通过核函数将数据映射到高维特征空间，并在该空间中寻找最优分类边界。核函数的选择对SVM的分类效果至关重要。通过深入理解核函数与分类边界的工作原理，可以更好地应用SVM解决实际问题。