图卷积网络（Graph Convolutional Networks, GCN）作为深度学习领域的重要分支，在图数据表示学习方面展现出强大的能力。本文旨在深入解析GCN的核心原理，特别是其两大核心步骤：邻域聚合与特征变换。通过对这两个步骤的详细探讨，帮助读者深入理解GCN如何在图结构上有效学习节点表示。
GCN的核心思想是将图数据中的每个节点通过其邻域信息进行表示学习。具体而言，GCN通过层层堆叠的方式，逐步聚合节点的邻域信息，并通过非线性变换更新节点的特征表示。
邻域聚合是GCN中的第一步，其目标是将节点的邻域信息整合到节点的当前表示中。GCN通过邻接矩阵或图拉普拉斯矩阵来实现这一目标。在聚合过程中，每个节点会从其直接邻居节点接收信息，并根据这些信息进行表示更新。
以简单的邻域平均聚合为例，假设图中有节点i和它的邻居节点集合N(i)，则节点i的更新表示可以表示为：
h_i^(l+1) = σ(Σ_j∈N(i) (1/c_ij) * W^(l) * h_j^(l))
其中，h_i^(l+1)表示节点i在第l+1层的表示，W^(l)是第l层的权重矩阵，σ是激活函数，c_ij是归一化系数，通常可以是节点i的邻居数量或者基于度的归一化。
特征变换是GCN中的第二步，其目标是将聚合后的邻域信息通过非线性变换映射到新的特征空间中。这一步骤通过线性变换和激活函数来实现，使得GCN能够学习复杂的非线性关系。
在特征变换过程中，GCN利用权重矩阵W^(l)对聚合后的节点表示进行线性变换，并通过激活函数σ引入非线性。这一步骤使得GCN能够捕捉到图数据中丰富的特征信息，并生成更具区分性的节点表示。
结合邻域聚合和特征变换，GCN的每一层都可以表示为：
H^(l+1) = σ(A * H^(l) * W^(l))
其中，H^(l)是第l层的节点表示矩阵，A是邻接矩阵或归一化后的邻接矩阵，W^(l)是第l层的权重矩阵，σ是激活函数。
本文深入解析了图卷积网络GCN的核心原理，特别是其邻域聚合与特征变换两个关键步骤。通过这两个步骤的相互作用，GCN能够在图数据上高效地学习节点的表示，为图数据挖掘和机器学习任务提供了有力的工具。未来，随着图数据规模的增大和复杂度的提升，GCN及其变种将在更多领域发挥重要作用。