递归神经网络（RNN）在处理时间序列数据时表现出色，但其经典结构在处理长期依赖问题时往往面临梯度消失或梯度爆炸的挑战。为了解决这些问题，长短时记忆网络（LSTM）和门控循环单元（GRU）应运而生。本文将深入探讨LSTM与GRU在解决长期依赖问题上的原理及其对比分析。
LSTM通过引入三种门控机制（遗忘门、输入门、输出门）以及细胞状态，有效地解决了长期依赖问题。以下是LSTM的核心组成部分：
数学公式表示为：
f_t = \sigma(W_f \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_f) \\
i_t = \sigma(W_i \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_i) \\
\tilde{C}_t = \tanh(W_C \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_C) \\
C_t = f_t * C_{t-1} + i_t * \tilde{C}_t \\
o_t = \sigma(W_o \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_o) \\
h_t = o_t * \tanh(C_t)
其中，\(f_t\), \(i_t\), \(o_t\)分别为遗忘门、输入门和输出门的输出，\(C_t\)为细胞状态，\(h_t\)为当前时间步的隐藏状态。
GRU是LSTM的简化版，通过合并遗忘门和输入门为更新门，并引入重置门，减少了参数数量和计算复杂度，同时保持了处理长期依赖的能力。以下是GRU的核心组成部分：
数学公式表示为：
r_t = \sigma(W_r \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_r) \\
z_t = \sigma(W_z \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_z) \\
\tilde{h}_t = \tanh(W_h \cdot [r_t * h_{t-1}, x_t] + b_h) \\
h_t = (1 - z_t) * h_{t-1} + z_t * \tilde{h}_t
其中，\(r_t\)和\(z_t\)分别为重置门和更新门的输出，\(\tilde{h}_t\)为当前时间步的候选隐藏状态，\(h_t\)为当前时间步的隐藏状态。
LSTM和GRU在处理长期依赖问题时各有优势：
LSTM和GRU都是处理时间序列预测中长期依赖问题的有效方法。LSTM通过精细的门控机制提供了更强的信息控制能力，而GRU则在保持性能的同时简化了模型结构。选择哪种方法应根据具体任务、数据特性和资源限制来决定。