贝尔曼方程在动态规划求解MDP中的应用：最优策略与值函数迭代

马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）是强化学习中的一个核心概念，它描述了智能体在完全可观察的环境中如何做出决策以实现长期回报最大化。贝尔曼方程（Bellman Equation）是求解MDP的核心工具之一，通过动态规划（Dynamic Programming, DP）方法，可以利用贝尔曼方程来迭代求解最优策略和值函数。

贝尔曼方程

贝尔曼方程分为状态值函数贝尔曼方程和动作值函数贝尔曼方程。对于状态值函数\(V(s)\)，其贝尔曼方程为：

其中，\(P(s'|s,a)\)表示在状态\(s\)执行动作\(a\)转移到状态\(s'\)的概率，\(R(s, a, s')\)是相应的奖励，\(γ\)是折扣因子。

对于动作值函数\(Q(s, a)\)，其贝尔曼方程为：

动态规划求解MDP

动态规划是一种用于解决最优化问题的数学方法，它通过分解问题为子问题并存储其结果来避免重复计算。在MDP中，动态规划可以用来迭代求解最优策略和值函数。

值函数迭代

值函数迭代是一种经典的动态规划方法，用于求解MDP的最优状态值函数。具体步骤如下：

1. 初始化状态值函数\(V(s)\)为任意值（通常为零）。
2. 对于每一个状态\(s\)，更新其值函数：
V(s) := max_a Σ P(s'|s,a) * [R(s, a, s') + γ * V(s')]
3. 重复步骤2，直到\(V(s)\)收敛（即变化量小于某个阈值）。

在值函数迭代收敛后，可以利用最终的状态值函数来构造最优策略：

动作值函数迭代

与状态值函数迭代类似，动作值函数迭代直接迭代求解最优动作值函数\(Q(s, a)\)。具体步骤如下：

1. 初始化动作值函数\(Q(s, a)\)为任意值（通常为零）。
2. 对于每一个状态-动作对\((s, a)\)，更新其动作值函数：
Q(s, a) := Σ P(s'|s,a) * [R(s, a, s') + γ * max_{a'} Q(s', a')]
3. 重复步骤2，直到\(Q(s, a)\)收敛。

在动作值函数迭代收敛后，最优策略可以直接由\(Q^*(s, a)\)得到：

贝尔曼方程是求解MDP的核心工具，通过动态规划方法，可以迭代求解最优策略和值函数。值函数迭代和动作值函数迭代是两种经典的动态规划方法，它们分别用于求解最优状态值函数和最优动作值函数。这些方法不仅在理论上具有重要意义，还在实际应用中发挥着重要作用，如在游戏AI、机器人控制等领域。