K-近邻（K-Nearest Neighbors，简称KNN）算法是一种简单而有效的监督学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。KNN算法的核心思想是根据待分类样本的k个最近邻样本的类别来决定其类别。因此，距离度量和权重分配在KNN算法中扮演着至关重要的角色。本文将深入探讨KNN算法中的距离度量与权重分配，特别是相似度计算和分类决策中的细节。
在KNN算法中，距离度量用于衡量样本之间的相似度。常用的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离和闵可夫斯基距离等。
欧氏距离是最常用的距离度量方法之一，用于计算两个n维向量之间的直线距离。公式如下：
d(x, y) = √(Σ(xi - yi)^2)
其中，x和y是两个n维向量，xi和yi分别是x和y的第i个分量。
曼哈顿距离也称为城市街区距离，用于计算两个n维向量在标准坐标系上的绝对轴距总和。公式如下：
d(x, y) = Σ|xi - yi|
切比雪夫距离是向量空间中的一种度量，是各坐标数值差的最大值。公式如下：
d(x, y) = max(|xi - yi|)
闵可夫斯基距离是欧氏距离和曼哈顿距离的广义形式，公式如下：
d(x, y) = (Σ|xi - yi|^p)^(1/p)
当p=1时，闵可夫斯基距离变为曼哈顿距离；当p=2时，变为欧氏距离。
在KNN算法中，权重分配用于强调或弱化不同近邻样本对分类决策的影响。常见的权重分配策略包括统一权重和距离加权。
统一权重是最简单的权重分配策略，即所有近邻样本的权重相同。在这种情况下，分类决策是基于近邻样本类别的多数投票。
距离加权策略根据近邻样本与待分类样本之间的距离分配权重，距离越近的样本权重越大。常用的距离加权方法包括反距离加权和高斯加权。
反距离加权根据距离的倒数来分配权重，公式如下：
weight(x, yi) = 1/d(x, yi)
其中，d(x, yi)是待分类样本x与近邻样本yi之间的距离。
高斯加权根据高斯函数来计算权重，公式如下：
weight(x, yi) = exp(-d(x, yi)^2 / (2σ^2))
其中，σ是标准差，控制权重分配的敏感度。
在KNN算法中，分类决策基于近邻样本的类别和权重。常见的分类决策方法包括多数投票和加权投票。
多数投票是最简单的分类决策方法，即根据近邻样本类别的多数来决定待分类样本的类别。这种方法适用于统一权重的情况。
加权投票根据近邻样本的权重进行投票，权重越大的样本对分类决策的影响越大。这种方法适用于距离加权的情况。
本文详细介绍了K-近邻算法中的距离度量与权重分配，包括常用的距离度量方法、相似度计算以及分类决策中的权重分配策略。通过深入理解这些细节，可以更好地应用KNN算法来解决实际问题。希望本文能为读者提供有益的参考。